Олимпиадные задания по математике

*Олимпиадные задания по математике*
*5 класс*
1. В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте. 2. Три ёжика делили три кусочка сыра массами 5 г, 8 г и 11 г. Лиса стала им помогать. Она может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г сыра. Сможет ли лиса оставить ёжикам равные кусочки сыра? 3. Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает таракан Валентин? 4. Найдите значение дроби ВАРЕНЬЕ / КАРЛСОН, где разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения. 5. Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как её зовут?
6 класс
1. Количество книг у Петра больше 150, но меньше 200. Из них 20% – романы, а 1/7 – сборники стихов. Сколько книг у Петра? 2. Оттолкнувшись левой ногой, Кенгуру прыгает на 2 метра, правой – на 4, а обеими – на 7. Какое наименьшее число таких прыжков нужно сделать, чтобы набрать в точности 1000 метров? 3. Найдите натуральное число N , для которого N + 37 и N - 46 – полные квадраты. 4. Терпеливая Маша обшивает квадратную салфетку тесьмой по краю за 1 час. Сколько часов ей понадобится, чтобы обшить квадратную салфетку, площадь которой в 4 раза больше? 5. Чему равно 45% от от 240 ?
*7 класс*
1. Лёша, Ганс и Стас сложились и купили палатку. Стас заплатил 60% от её цены, Лёша 40% от оставшейся суммы, а Ганс – последние 30 долларов. Сколько стоила палатка? 2. Какой цифрой заканчивается произведение 7 х 27 х 47 х 67 х 87 х...х 1987 х 2007 ? 3. Пять положительных чисел a, b, c, d и e таковы, что ab = 2 , bc = 3 , cd = 4 , de = 5 . Чему равно e/a ? 4. Поезд состоит из локомотива и пяти вагонов: I, II, III, IY и V. Сколькими способами можно расставить эти вагоны при условии, что I вагон должен быть ближе к локомотиву, чем II, а порядок остальных не важен? 5. Зная, что x + 3y = 8 найдите ( 2x - 6y ) : ( 0,25x 2 -2,25y 2 ) .
8 класс
Задача № 1 Если переписать в обратном порядке цифры некоторого пятизначного числа, то в результате получится число, вчетверо больше первоначального. Найдите это число. Задача № 2 Какое наименьшее число «уголков» из трех клеток нужно разместить в квадрате 8x8 клеток, чтобы в него нельзя было больше поместить без наложения ни одной такой фигуры? Задача № 3 В треугольнике ABC две высоты ha и hb не меньше длин сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника. Задача № 4 Произвольный выпуклый четырехугольник разрезали на 4 части по прямым, проходящим через середины его противоположных сторон. Как из этих частей сложить параллелограмм? Задача № 5 Запись даты проведения олимпиады состоит из восьми цифр: 01.02.2005. Найдите ближайшую будущую дату, в записи которой все цифры различ-ны.
*9 класс*
Задача № 1 Сколько рёбер у пирамиды, имеющей 7 граней? Задача № 2 В корзине лежат подосиновики и подберёзовики - всего 30 штук. Известно, что какие бы 12 грибов ни достать из корзины, среди них окажется по крайней мере 1 подосиновик. А если произвольно достать 20 грибов, то среди них будет по крайней мере 1 подберёзовик. Сколько подосиновиков в корзине? Задача № 3 Когда бочка на 30% пуста, то в ней содержится на 30 литров больше, чем когда она на 30% заполнена. Сколько литров вмещает полная бочка? Задача № 4 В ряд вписаны 6 чисел. Известно, что каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Сумма всех вписанных чисел равна 7996. Чему равно пятое из вписанных чисел? Задача № 5 Для каждой пары целых чисел(х;у), удовлетворяющих уравнению (х2+у2)(3х-у-15)=2ху Вычислите сумму х+у.
10 класс
Задача № 1: Назовем “соросовским произведением” двух различных чисел, a и b, число a + b + ab. Можно ли, исходя из чисел 1 и 4, после многократного применения этой операции к уже полученным произведениям получить: а) число 1999; б) число 2000? Задача № 2: На валютной бирже продаются динары (D), гульдены (G), реалы (R) и талеры (T). Биржевые игроки имеют право совершать сделку купли-продажи с каждой парой валют не более одного раза в день. Курсы обмена следующие: D = 6G; D = 25R; D = 120T; G = 4R; G = 21T; R = 5T. Утром у игрока имелось 32 динара. Какое максимальное число а) динаров; б) талеров он может получить к вечеру? Задача № 3: Центр окружности, проходящей через середины всех сторон треугольника АВС, лежит на биссектрисе его угла С. Найдите сторону АВ, если ВС = а, АС = b(a не равно b). Задача № 4 Известно, что существует прямая, делящая периметр и площадь некоторого описанного около окружности многоугольника в одном и том же отношении. Докажите, что эта прямая проходит через центр указанной окружности.
11 класс
Задача 1: В игре участвуют два игрока А и Б. Игрок А задаёт значение одного из коэффициентов a, b или c многочлена x3 + ax2 + bx + c. Игрок Б указывает значение любого из двух оставшихся коэффициентов. Затем игрок А задаёт значение последнего коэффициента. Существует ли стратегия игрока А такая, что как бы ни играл игрок Б, уравнениеx3 + ax2 + bx + c = 0 имеет три различных (действительных) решения? Задача 2: Пусть f(x) = (...((x – 2)2 – 2)2 – 2)2... – 2)2(здесь скобок ( ) – n штук). Найдитеf І(0) Задача 3: Числа a , b и c таковы , что a2 + b2 + c2 = 1.Докажите, что a4 + b4 + c4 + 2(ab2 + bc2 + ca2)2 Ј 1. При каких a, b и c неравенство превращается в равенство? Задача 4: Пусть прямая L перпендикулярна плоскости P. Три сферы попарно касаются друг друга так, что каждая сфера касается плоскости P и прямой L. Радиус большей сферы равен 1 . Найдите минимальный радиус наименьшей сферы. Задача 5: На валютной бирже острова Удача продают динары (D), гульдены (G), реалы (R) и талеры (T). Биржевые маклеры имеют право совершить сделку купли-продажи с любой парой валют не более одного раза за день. Курсы валют такие: D = 6G, D = 25R, D = 120 T, G = 4R, G = 21T, R = 5T. Например, запись D = 6G означает,что 1 динар можно купить за 6 гульденов (или 6 гульденов можно продать за 1 динар). Утром у маклера было 80 динаров, 100 гульденов, 100 реалов и 50400 талеров. Вечером у него было одинаковое число динаров и талеров. Каково максимальное значение этого числа?